泊松分布是什么

Poisson 分布(法語：loi de Poisson，英語：Poisson distribution，譯名有泊松分布、普阿松分布、卜瓦松分布、布瓦松分布、布阿松分布、波以松分布、卜氏分配等)，是一種統(tǒng)計與概率學(xué)里常見到的離散機率分布(discrete probability distribution)，由法國數(shù)學(xué)家西莫恩·德尼·泊松(Siméon-Denis Poisson)在 1838 年時發(fā)表。

泊松分布的概率質(zhì)量函數(shù)為：

泊松分布的參數(shù)λ是單位時間(或單位面積)內(nèi)隨機事件的平均發(fā)生率。

泊松分布適合于描述單位時間內(nèi)隨機事件發(fā)生的次數(shù)。如某一服務(wù)設(shè)施在一定時間內(nèi)到達的人數(shù)，電話交換機接到呼叫的次數(shù)，汽車站臺的候客人數(shù)，機器出現(xiàn)的故障數(shù)，自然災(zāi)害發(fā)生的次數(shù)等等。

若隨機變量 X 取 0 和一切正整數(shù)值，在 n 次獨立試驗中出現(xiàn)的次數(shù) x 恰為 k 次的概率 P（X=k）=（k=0,1,…,n），式中λ是一個大于 0 的參數(shù)，此概率分布稱為泊松分布。它的期望值為 E(x)=λ，方差為 D(x) = λ。當 n 很大，且在一次試驗中出現(xiàn)的概率 P 很小時，泊松分布近似二項分布。

泊松分布使用范圍

Poisson 分布主要用于描述在單位時間(空間)中稀有事件的發(fā)生數(shù). 即需滿足以下四個條件：

【第1句】：給定區(qū)域內(nèi)的特定事件產(chǎn)生的次數(shù)，可以是根據(jù)時間，長度，面積來定義；

【第2句】：各段相等區(qū)域內(nèi)的特定事件產(chǎn)生的概率是一樣的；

【第3句】：各區(qū)域內(nèi)，事件發(fā)生的概率是相互獨立的；

【第4句】：當給定區(qū)域變得非常小時，兩次以上事件發(fā)生的概率趨向于 0。

例如：

【第1句】：放射性物質(zhì)在單位時間內(nèi)的放射次數(shù)；

【第2句】：在單位容積充分搖勻的水中的細菌數(shù)；

【第3句】：野外單位空間中的某種昆蟲數(shù)等。

泊松分布的期望和方差

由泊松分布知 E[N(t) ? N(t0)] = D[N(t) ? N(t0)] = λ(t ? t0)

特別的，令 t_0=0.由于假設(shè) N(0)=0,故可推知泊松過程的均值函數(shù)和方差函數(shù)分別為 E[N(t)] = λt,D[N(t)] = λt,

泊松過程的強度lambda （常數(shù)）等于單位長時間間隔內(nèi)出現(xiàn)的質(zhì)點數(shù)目的期望值。即對泊松分布有：E(X) = D(X) = λ

泊松分布的特征

【第1句】：泊松分布是一種描述和分析稀有事件的概率分布。要觀察到這類事件，樣本含量 n 必須很大。

【第2句】：λ是泊松分布所依賴的唯一參數(shù)。λ值愈小，分布愈偏倚，隨著λ的增大，分布趨于對稱。

【第3句】：當λ = 20 時，分布泊松接近于正態(tài)分布；當λ = 50 時，可以認為泊松分布呈正態(tài)分布。在實際工作中，當時就可以用正態(tài)分布來近似地處理泊松分布的問題。